Distribuciones de Probabilidad que Dependenden de Uno o Más Parámetros

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Questions

• Key question (FIXME)

Objectives

• First learning objective. (FIXME)

El científico realiza mediciones y las usa para encontrar fórmulas matemáticas que describan la naturaleza. Karl Pearson (1857-1936) tuvo la idea de que cuando se realiza un número grande de mediciones, lo que se obtiene es una distribución de valores. Esta distribución de valores se describe mediante una fórmula matemática que depende de uno o mas parametros.

La distribución Gama y sus parámetros

La función de densidad de una variable Gamma está dada por:

en donde $ \alpha $ es el parámetro de forma y $ \Theta $ el parámetro de escala. En la figura, $ \alpha $ toma los valores 1.5, 2, 3, 4.5, 6. El parámetro de escala $ \Theta $ se mantuvo constante e igual a 1. Ver archivo Gama.1.r.

Método del rechazo para generar muestras

El método del rechazo nos permite simular la realización de una variable aleatoria definida por una función de densidad arbitraria. Esta función puede depender de uno o más parámetros. Ver el archivo Método.del.Rechazo.r .

> ejectionK <- function(fx, a, b, K) {
> # simula una variable con funci ́on de densidad fx
> # supone que fx es 0 fuera de [1, b] y acatada por K
>   while (TRUE) {
>     x <- runif(1, a, b)
>     y <- runif(1, 0, K)
>     if (y < fx(x)) return(x)
>   }
> }

1. Genere X∼Uni[a,b] y Y∼Uni[0,K], variables independientes.
2. Si Y < fx(X) entonces se reporta X, en otro caso, ir al paso 1.

Método de Momentos

Los estimadores por el método de los momentos están dados por $ \widehat{\alpha}=\frac{m_{1}^{2}}{m_{2}-m_{1}^{2}} $ y $ \widehat{\Theta}=\frac{m_{2}-m_{1}^{2}}{m_{1}} $ en donde $ m_{k}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{k} $ .

En la figura se muestra el histograma de 10 000 estimaciones realizadas a partir de muestra de tamaño 50 cada una. La línea punteada en rojo muestra el valor real del parámetro.

Ver archivo Gama.Momentos.r .

Tamaño de la muestra:

> muestra <- 200

Número de muestras:

> tot <- 10000

Parámetro de forma:

> a <- 10

Parámetro de escala:

> t <- 0.5

Se inicializan las variables:

> t.hat <- c()
> a.hat <- c()

Y después:

> for(i in 1:tot) {
>   m <- rgamma(muestra, shape=a, scale=t)
>   m1 <- mean(m)
>   m2 <- sum(m^2)/muestra
>   t.hat[i] <- (m2-m1^2)/m1
>   a.hat[i] <- m1 ˆ 2/(m2-m1^2)
> }

Para ver la salida del código anterior:

> hist(a.hat)
> hist(t.hat)

La siguiente tabla contiene algunos estimadores según el método de los momentos. Note que $ m_{1}=\overline{X} $ .

La distribución logarítmica tiene distribución de masa y media dadas respectivamente por $ f(k)= \frac{-p^{k}}{klog(1-p)} $ y $ M_{1}(p)=\frac{-p}{(1-p)log(1-p)} $ .

Desafortunadamente no es posible resolver la ecuación $ M_{1}(p) = m_{1} $ para obtener $ \widehat{p} $ en función de $ m_{1} $ . Sin embargo, esta ecuación se puede resolver numéricamente. Para este fin, se define la siguiente función.

fun <- function(p) {
  a <- (1-p)∗log(1-p)
  return(-p/a-m1)
}

Con el siguiente comando se obtiene el valor numérico para $ \widehat{p} $ una vez que $ m_{2} $ es conocido.

uniroot(fun, c(0.01, 0.9))$root

Ver el archivo Distribución.Logarítmica.r. En este archivo también se programaron los comandos para realizar la simulación de la variable aleatoria.

> fd <- function(n=k, probabilidad=p) { # la distribución de masa
>  a <- -probabilidad^n
>  b <- n∗log(1-probabilidad)
>  return(a/b)
> }
> sim <- function(p) { # función que simula una variable logarítmica
>  rnd <- runif(1)
>  k <- 0
>  sum <- 0
>  while(rnd>sum) {
>     k <- k+1
>     sum <- sum+fd(k, p) 
>  }
> return(k)
> }

Se generan tot valores de la variable aleatoria:

tot <- 50000
u <- matrix(0.35, tot, 1)
z <- sapply(u, sim)

Se utilizan los valores generados para estimar el parámetro p:

print(uniroot(fun, c(0.01, 0.99), mean(z))$root)

Key Points

• First key point. Brief Answer to questions. (FIXME)