Análisis de Varianza

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Análisis de Varianza

En 1919, la Estación Rothamsted contrató al joven estadístico Ronals Aylmer Fisher para que aprovecara los datos ahí acumulados. El análisis de Fisher sugería que la relación entre la lluvia y el crecimiento de las plantas era más significativa que la relación entre el fertilizante y el crecimiento de las plantas. A los científicos de la estación de Rothamsted, no les interesaba la lluvia como factor determinante de la cosecha, sino el fertilizante. No se sabía separar los efectos d ela lluvia d elso efectos del fertilizante. Fisher comprendió que los efectos se podían seprar si los experimentos se diseñaban de manera apropiada.

El análisis de varianza (ANOVA) de un sólo factor se utiliza para comparar las medias I poblaciones. Es de interés la hipótesis

\[H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2} = \cdots = \mu_{I}\]

En el ANOVA se tienen datos de la forma

\[X_{ij} = \mu_{i} + \epsilon_{ij}\]

en donde $\epsilon_{ij}$ son las desviaciones (o errores) aleatorios que la j-ésima observación respecto de la i-ésima media poblacional $\mu_{i}$. Se supone que los errores $\epsilon_{ij}$ son independientes con media cero y desviación estándar constante.

Si $ H_{0} $ se cumple, entonces el estadístico de prueba $ F_{cal} = CMTr/CME $ tiene un valor de 1. Valores grandes de $ F_{cal} $ sugieren que $ H_{0} $ es falsa. ¿Qué tan grande debe ser $ F_{cal} $ para poder rechazar a $ H_{0} $?

set.seed(777)
a <- 1.0 + rnorm(10, 0, 0.7)
b <- 1.5 + rnorm(10, 0, 0.7)
c <- 2.0 + rnorm(10, 0, 0.7)
obs <- c(a, b, c)
A <- rep("A", 10)
B <- rep("B", 10)
C <- rep("C", 10)
fac <- factor(c(A, B, C))
datos <- data.frame(obs, fac)
mod <- oneway.test(obs ∼ fac, data=datos, var.equal=TRUE)
print(mod) # se obtiene como resultado lo siguiente:

	One-way analysis of means

data:  obs and fac
F = 1.6901, num df = 2, denom df =
27, p-value = 0.2034

En la figura de la izquierda se reportan los diagramas de caja de las tres poblacionse generadas por el código anterior. Dentro de cada caja yacen las observaciones entre loso cuartiles $ Q_{1} $ y $ Q_{3} $ de cada población. Los “bigotes” se extienden hasta los valores máximo de la serie o hasta $ 1.5 x (Q_{3} - Q{1}) $.

En la figura de la derecha se reportan los intervalos “estudentizados” mediante el procedimiento de Tukey.

En estos diagramas de caja se muestra el consumo de personal de energía eléctrina por bimestre.

tabla

Para la hipótesis nula según la cual no hay diferencias en el consumo, se tiene un p-valor de 0.0126. Por lo tanto se rechaza esta hipótesis. En la figura, los intervalos estudentizados de Tukey.

Se observa la mayor diferencia entre los bimestres junio - julio contra febrero - marzo.

nota

El ANOVA de un factor como un caso de la regresión

En el archivo Solo.Variables.Indicadoras se considera un modelo de regresión de la forma

\[Y = \beta_{0} + \beta_{1} v + \beta_{2} w + \epsilon\]

en donde $ v $ y $ w $ son variables indicadoras que solamente toman los valores 0 a 1, pero no se da el caso de que $ v = w = 1 $. Note que

\[E(Y) = \begin{cases} \beta_{0} &\quad\text{si } v = 0 \text{ y } w = 0\\ \beta_{0} + \beta_{1} &\quad\text{si } v = 1 \text{ y } w = 0\\ \beta_{0} + \beta_{2} &\quad\text{si } v = 0 \text{ y } w = 1\\ \end{cases}\]

Cuando se varían los valores $ \beta_{0} $, $ \beta_{1} $, $ \beta_{2} $ se cambian los niveles del factor.

ANOVA con dos factores

Un acumulador de energía eléctrica se puede construir de tres tipo distintos de materiales (factor 1 con tres niveles) y trabajará a distintas temperaturas (factor 2). Es de interés el número de horas de servicio del acumulador. El acumulador será probado a tres temperaturas distintas (los tres niveles del factor 2). En la tabla se reportan las horas de servicio obtenidas al aplicar cada tratamiento (combinación de niveles de los factores) a 4 acumuladores elegidos de forma aleatoria

Temperatura	15°	70°	125°
Tipo 1 de material	130, 155, 74, 180	34, 40, 80, 75	20, 70, 82, 58
Tipo 2 de material	150, 188, 159, 126	136, 122, 106, 115	25, 70, 58, 45
Tipo 3 de material	138, 110, 168, 160	174, 120, 150, 139	96, 104, 82, 60

Con los siguientes comandos se realiza el análisis de varianza con dos factores para el problema planteado anteriormente.

vida <- c(130, 74, 150, 159, 138, 168, 155, 180, 188, 126, 110, 160, 34, 80, 135, 106, 174, 150, 40, 75, 122, 115, 120, 139, 20, 82, 25, 58, 96, 82, 70, 58, 70, 45, 104, 60)
material <- rep(c(1,1,2,2,3,3), 6)
temp <- rep(c(15, 70, 125), each=12)
dat <- data.frame(resp=vida, tipo=factor(material), temperatura=factor(temp))
fit <- aov(resp ∼ tipo∗temperatura, data=dat)
summary(fit)

            Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
tipo         2  10678    5339   6.269  0.00531 ** 
temp         1  39043   39043  45.841 1.66e-07 ***
tipo:temp    2   2315    1158   1.359  0.27226    
Residuals   30  25551     852                     
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Ver el archivo ANOVA.Acumulador.r

Regresión logística

Con los siguientes comandos se simula una muestra en donde la variable repuesta solamente toma los valores 0 o 1.

tt <- 50 # tama˜no de la muestra
x <- 20+c(1:tt)∗50/tt
b0 <- -10
b1 <- 0.2
y <- c()
for (i in 1:tt) {
  EXP <- exp(b0+b1∗x[i])
  p <- EXP/(1 + EXP)
  y[i] <- rbinom(1, size=1, prob=p)
}
plot(x, y)

Ver el archivo Regresión.Logística.r

Una vez dada la muestra que se generó en al página anterior, los coeficientes del modelo se estiman con el siguiente comando

fit <- glm(y ∼ x, family=“binomial”)
summary(fit)

En la figura se reporta la muestra generada junto con el modelo ajustado (en linea roja punteada). El modelo provee la probabilidad de que un punto de la muestra haya tomado el valor 1. Cuando esta probabilidad es muy pqeueña, entonces la variable respuesta tenderá a asumir el valor 0.

Key Points

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